Urodzony 22 stycznia 1924 w miejscowości Bošany na terenie diecezji nitrzańskiej przyszły kardynał przyjął potajemnie święcenia kapłańskie w Towarzystwie Jezusowym 1 października 1950 sakrę, a już w niespełna rok później - 24 sierpnia 1951 jego zakonny współbrat bp Pavol Hnilica (1921-2006) udzielił mu sakry, również potajemnie. Mając 27 lat Korec był wówczas prawdopodobnie najmłodszym biskupem na świecie.

Nowo konsekrowany hierarcha nie mógł jednak wykonywać swej posługi kapłańskiej i biskupiej legalnie i pracował w różnych zawodach, m.in. w przemyśle ciężkim i służbie zdrowia w Nitrze i Bratysławie. Po godzinach pracy starał się prowadzić potajemnie działalność duszpasterską i katechetyczną. Mimo ukrywania się został 11 marca 1960 aresztowany i wkrótce potem skazany na 12 lat więzienia za „zdradę socjalistycznej ojczyzny i współpracę z imperialistycznym Watykanem”. Po 8 latach odbywania wyroku w ciężkich warunkach w różnych więzieniach odzyskał wolność w czasie "Praskiej Wiosny", a 1969 r. doczekał się pełnej rehabilitacji, nadal jednak jeszcze przez 20 lat nie mógł pracować duszpastersko.

Mimo wszystko zdołał wyświęcić potajemnie prawie 120 księży zakonnych i jednego biskupa. Był jednym z filarów tzw. Kościoła podziemnego w ówczesnej Czechosłowacji. W trudnych warunkach napisał ponad sto książek z różnych dziedzin teologii i historii Kościoła, tworzących tzw. „Bibliotekę Wiary”. Brał udział w tzw. manifestacji ze świecami w obronie wolności religijnej w 1988 r.

Po upadku komunizmu w Czechosłowacji w listopadzie 1989 już 2 stycznia następnego roku Jan Paweł II oficjalnie mianował bp. Korca rektorem zreorganizowanego seminarium duchownego w Bratysławie, a 6 lutego tegoż roku potwierdził jego tajne biskupstwo, powołując go na biskupa Nitry. Na konsystorzu 28 czerwca 1991 włączył 67-letniego wówczas hierarchę w skład Kolegium Kardynalskiego.

Jako biskup nitrzański J. Korec odnowił seminarium duchowne w Nitrze i wyświęcił ok. 200 księży dla swej diecezji; troszczył się też o odrodzenie w niej życia religijnego. W czasie wizyty św. Jana Pawła II na Słowacji na przełomie czerwca i lipca 1995 podejmował go 30 czerwca w Nitrze. Witając go, w pewnej chwili ze wzruszenia rozpłakał się i przez chwilę nie był w stanie przemawiać. W dniach 1-7 marca 1998 na życzenia Ojca Świętego głosił rekolekcje wielkopostne dla niego i Kurii Rzymskiej. W styczniu 2004, skończywszy 80 lat, kardynał Korec utracił prawo udziału w konklawe a 9 czerwca 2005 ustąpił z urzędu biskupa Nitry. W czerwcu 2012 trafił do szpitala w związku z poważnymi kłopotami zdrowotnymi.

Kard. Korec był wyróżniony szeregiem odznaczeń krajowych i zagranicznych, m.in. Legią Honorową Republiki Francuskiej, doktoratami honoris causa uczelni amerykańskich (m.in. Notre Dame, Indiana, Washington) i europejskich. 5 października 2003 r. tytuł taki przyznał mu Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie.

Obecnie Kolegium Kardynalskie liczy 218 kardynałów, z których 118 ma prawo wybierać papieża: 30 z nich mianował Jan Paweł II, 57 – Benedykt XVI i 31 – Franciszek. Wśród 100 kardynałów-nieelektorów jest 1 mianowany jeszcze przez Pawła VI (Paulo Evaristo Arns, kreowany 5 marca 1973), 69 – przez Jana Pawła II, 22 – przez Benedykta XVI i 8 – przez Franciszka.

Najstarszymi wiekiem są kardynałowie: Włoch Loris Francesco Capovilla, ur. 14 października 1915, Kolumbijczyk José de Jesús Pimiento Rodríguez (18 lutego 1919) i Libańczyk Nasrallah Pierre Sfeir (15 maja 1920, najmłodszymi: Tongańczyk Soane Patita Paini Mafi, ur. 19 grudnia 1961, Urugwajczyk Daniel Fernando Sturla Berhouet SDB (4 lipca 1959) i Baselios Cleemis Thottunkal z Indii (15 czerwca 1959).